Berechnung der historischen Volatilität bei Optionsscheinen

Es gibt viele verschiedene Methoden zur Berechnung einer historischen Volatilität, je nach Methode ergeben sich andere Ergebnisse, die dann entsprechend auch anders interpretiert werden müssen. Beispielsweise lassen sich sowohl Schlusskurse als auch Tageshöchst- oder Tagestiefkurse zur Berechnung heranziehen. Es lassen sich Volatilitäten für beliebige Laufzeiten ermitteln, etwa ein Jahr, ein Monat oder eine Woche. Des Weiteren gibt es sehr unterschiedliche Verfahren, wie die verwendeten Kurse dann in die Berechnung der Volatilität eingehen. Ich möchte ein Verfahren vorstellen, welches auf den historischen Schlusskursen basiert und das Ergebnis für die historische Jahresvolatilität so liefert, wie es in den meisten Fällen in Kurstabellen in Börsenzeitschriften oder auf Internetseiten angegeben wird (es empfiehlt sich die Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms!).

Man notiert die 256 historischen Kurse des Wertpapiers der Reihe nach. Nun muss man eine sogenannte logarithmierte Rendite jeweils von einem auf den nächsten Tag bilden, dies geschieht nach folgender Formel:

Ri = ln (Kt) – ln (Kt-1)

Dabei steht Kt-1 jeweils für den Schlusskurs des Vortages. Man bildet also den natürlichen Logarithmus vom Schlusskurs des zweiten Tages und zieht davon den ln des ersten Tages ab, dann den zweiten vom dritten usw. Man erhält nun also 255 verschiedene Renditen Ri. Nun gilt es, zunächst eine logarithmierte mittlere Rendite µ aus diesen Kursen bilden. Dies geschieht nach folgender Formel:

µ = 1/255 x Summe [Ri],
wobei i alle Werte von 1 bis 255 annimmt.

Man addiert also alle Renditen und multipliziert die Gesamtsumme mit 1/255. Damit ist die mittlere Rendite µ berechnet. Im nächsten Schritt wird nun ein Maß für die Abweichungen von diesem Mittelwert errechnet, die Varianz sigma². Sie errechnet sich nach folgender Formel:

sigma² = 1/254 x Summe [Ri – µ]²,
wobei i alle Werte von 1 bis 255 annimmt.

Man zieht also die errechnete mittlere Rendite µ von jeder Einzelrendite ab und quadriert jeweils das Ergebnis. Damit entstehen nur positive Werte, so dass die Richtung der einzelnen Tagesveränderungen keine Rolle mehr spielt. Alle 255 Ergebnisse zählt man zusammen und multipliziert die Summe mit 1/254. Man erhält die quadrierte Standardabweichung oder Varianz sigma². Die einfache Standardabweichung sigma erhält man, indem man nun die Wurzel aus der Varianz zieht. Um nun von der Standardabweichung auf die historische Volatilität zu kommen, muss man lediglich noch eine Annualisierung vornehmen. Dazu muss die Standardabweichung mit der Wurzel der 256 Handelstage, also 16, multipliziert werden. Multipliziert man den errechneten Wert noch mit 100, so erhält man die historische Jahresvolatilität in Prozent. Was genau bedeutet aber nun diese Zahl?

Es wird angenommen, dass sich die Kurse von Wertpapieren nach der Funktion der Standardnormalverteilung bilden. Eine maximal einfache Standardabweichung tritt bei dieser Funktion mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,27 % ein, eine maximal doppelte Standardabweichung mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,45 % und eine maximal dreifache Standardabweichung mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,73 %.

Anmerkung: Die Standardnormalverteilung liefert keine exakten Ergebnisse für die Eintrittswahrscheinlichkeit einer bestimmten Kursspanne bei einem Wertpapier, so treten beispielsweise große Kursausschläge häufiger auf, als es die errechnete Standardabweichung bzw. die Volatilität anzeigen. Mangels anderer besserer Modelle wird heute dennoch nahezu überall die Standardnormalverteilung zugrunde gelegt.

Historische Volatilität

Beispiel: historische Volatilität = 64 %. Nehmen wir an, wir erhalten für die historische Jahresvolatilität auf Basis der Tagesschlusskurse den Wert 64 %. Dieser Wert könnte etwa bei einer Aktie aus dem TecDAX herauskommen. Teilt man diese Zahl durch die Wurzel der 256 Handelstage, also 16, ergeben sich 4 %. Diese 4% entsprechen nun der Standardabweichung. Das bedeutet, dass der neue Schlusskurs dieses Wertpapiers gegenüber dem Schlusskurs des vorangegangenen Tages theoretisch mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,27 % (maximal einfache Standardabweichung) nicht weiter als 4 % vom letzten Schlusskurs entfernt sein wird. Entsprechend beträgt die Wahrscheinlichkeit 95,45 % für einen neuen Schlusskurs innerhalb einer Spanne von 8 % und 99,73 % für einen neuen Kurs innerhalb einer Spanne von 12 %, dies alles jedoch unter der Annahme, dass die Standardnormalverteilung zugrunde liegt.

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